小雨和小明今日在网络中心，刘老师与小雨、小明谈起一类有趣味的蜡烛问题。
刘老师讲：“蜡烛问题也是一类路程问题，蜡烛问题很象工程问题。工程问题是设全部工程为1的路程问题，而蜡烛问题是设蜡烛全长为1的路程问题。这里，全部工程或者蜡烛全长相当于路程问题中的距离。因此可以说，工程问题和蜡烛问题都是距离为1的路程问题。
蜡烛问题的三要素是：蜡烛全长相当于路程问题中的距离设为1，蜡烛燃烧完的时间的倒数是蜡烛燃烧的速度，再一要素是燃烧某段蜡烛所需的时间。
所使用公式为：蜡烛某段燃烧掉的长度 = 燃烧速度×燃烧某段蜡烛所需时间。
比如：粗蜡烛和细蜡烛长短一样，粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时。同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛比细蜡烛长4倍。你能算出这两支蜡烛点了多少时间吗？”
小明说：“这个题，我能作。我的作题步骤是：
1. 设“点了一段时间后”，粗蜡烛比细蜡烛长4倍所用时间为T。
2. 由于粗蜡烛可点5小时，所以其燃烧速度为1/5。而细蜡烛可点4小时，所以其燃烧速度为1/4。
3. 粗细蜡烛长度相等，设全长为1。“点了一段时间后”，粗蜡烛所剩蜡烛长度为1 – (1/5)T，而蜡烛所剩蜡烛长度为1 – (1/4)T。
4. 根据题设，“点了一段时间后，粗蜡烛比细蜡烛长4倍”。从而可以列出方程为： 1 – (1/5)T = 4[1 – (1/4)T]。
5. 从而解得：T = 15/4。即点燃了3小时45分钟。”
小雨说：“这个题，我也能作。我的作题步骤是：
1. 设细蜡烛“点了一段时间后”的蜡烛长为X，则粗蜡烛长为4X。
2. 由于粗蜡烛可点5小时，所以其燃烧速度为1/5。而细蜡烛可点4小时，所以其燃烧速度为1/4。
3. 粗细蜡烛长度相等，设全长为1。显然，粗蜡烛燃烧掉的长度为1 – 4X，而细蜡烛燃烧掉的长度为1 – X。
4. 根据题设燃烧时间相等。其方程为：(1 – 4X)÷(1/5) = (1 – X) ÷(1/4) = T。即： 5(1 – 4X) = 4(1 – X)。
5. 从而解得：X = 1/16，而T = (1 – X)÷(1/4)，求出：T = 15/4，即点燃了3小时45分钟。”
刘老师讲：“很好，小明是从时间入手，而小雨是从长度入手。现我再提出一种作法，你们比较一下。因为蜡烛某段燃烧掉的长度 = 燃烧速度×燃烧某段蜡烛所需时间，所以我们可作如下分析，蜡烛燃烧三要素为：
1. 蜡烛燃烧速度为已知：由于粗蜡烛可点5小时，所以其燃烧速度为1/5。而细蜡烛可点4小时，所以其燃烧速度为1/4。
2. 蜡烛燃烧时间为未知：设为T。
3. 蜡烛燃烧长度为未知：设为细蜡烛燃烧后所剩长度为X，根据题设知粗蜡烛燃烧后所剩长度为4X。同时我们设蜡烛全长为1。从而有：细蜡烛燃烧长度为1 – X，粗蜡烛燃烧长度为1 – 4X。
4. 根据蜡烛燃烧基本公式：燃烧长度 = 燃烧速度×燃烧时间。可知：
粗蜡烛燃烧方程为： (1/5)T = 1 – 4X (1)
细蜡烛燃烧方程为： (1/4)T = 1 – X (2)
5. (1)式(2)式联立即可解得：X = 1/16 T = 15/4
因此，点燃3小时45分钟后，粗蜡烛比细蜡烛长4倍。
小明说：“蜡烛问题确实有趣味。”
刘老师讲：“是的。从这个题，我们可以对蜡烛问题提出三种解法：第一种，小明的解法是：从题设中，我们明显地可以看到一组未知数是“点了一段时间后”，设为T。而我们用“点后的蜡烛长”这个暗藏未知数作桥梁划等号解出。第二种，小雨的解法是：我们也可以用“点后的蜡烛长”这个暗藏未知数作未知数，设为X。而用“点了一段时间后”这个明显的未知数作桥梁划等号解出。第三种，我提出来的另一种解法是：我们可以不动脑子的把两个未知数都设出来，而用最基本的蜡烛计算公式：蜡烛某段燃烧掉的长度 = 燃烧速度×燃烧某段蜡烛所需时间，作二元一次方程解出。
如果说第一种方法基本，第二种方法巧妙。我们看第三种方法来的更实在！因为它不动脑子，它给出的是通解。不妨我们再作一题熟练通解方法，以体会使用各种类型题目的通解方法作题的优越性。
小明，这次再用你的名子出道吧。题目是：小明同时点燃粗细不同长短一样的两支蜡烛。已知粗的点完要用3小时，细的点完要用2小时。过一段时间后，小明又把两支蜡烛同时熄灭，这时剩下的蜡烛粗的是细的2倍。问：蜡烛点燃的时间是多少小时多少分钟？”
小明说：“用我的名子出的题，还是我来作。此题蜡烛燃烧三要素为：
1. 蜡烛燃烧速度为已知：由于粗蜡烛可点3小时，所以其燃烧速度为1/3。而细蜡烛可点2小时，所以其燃烧速度为1/2。
2. 蜡烛燃烧时间为未知：设为T。
3. 蜡烛燃烧长度为未知：设为细蜡烛燃烧后所剩长度为X，根据题设知粗蜡烛燃烧后所剩长度为2X。同时我们设蜡烛全长为1。从而有：细蜡烛燃烧长度为1 – X，粗蜡烛燃烧长度为1 – 2X。
4. 根据蜡烛燃烧基本公式：燃烧长度 = 燃烧速度×燃烧时间。可知：
粗蜡烛燃烧方程为： (1/3)T = 1 – 2X (1)
细蜡烛燃烧方程为： (1/2)T = 1 – X (2)
5. (1)式 (2)式 联立即可解得：X = 0.25 T = 1.5
因此，蜡烛点燃是1小时30分钟。”
刘老师说：“小明作的很好，说明你确实领会了。”
小雨说：“如果粗细蜡烛长短不一样，怎么办？”
刘老师说：“我们通过题来说明。比如：长蜡烛可以点3.5小时，短蜡烛可以点5小时。它们点燃2小时后，其高度相等。问：它们的高度比是多少？”
小雨说：“明白了，粗细蜡烛长短不一样的题，燃烧后的高度一定设为相等，所以我们设燃烧后的高度为1。我会作了。”
刘老师说：“小雨那你就作吧。”
小雨说：“好，我来作。我们可以作如下分析：
1. 这题长蜡烛与短蜡烛长度不一样，无法设其全长度为1。为了便于比较，我们设燃烧两小时后高度为1。此时，两蜡烛高度相等，均为1。
2. 若将此高度燃烧完，原长蜡烛需时为3.5小时减掉2小时，为1.5小时，说明长蜡烛燃烧速度是1/1.5。原短蜡烛需时为5小时减掉2小时，为3小时，说明短蜡烛燃烧速度是1/3。
3. 这样，长蜡烛原长为长蜡烛燃烧速度×全长燃烧时间，即(1/1.5) ×3.5 = 7/3。而短蜡烛原长为短蜡烛燃烧速度×全长燃烧时间，即(1/3) ×5 = 5/3。
4. 所以，长蜡烛与短蜡烛原长高度之比是7比5。”
刘老师说：“其实，我们涉及到的直线路程问题、圆形路程问题、平均速度问题、工程问题、蜡烛问题，都属于路程类的问题，它们具有着一定的通性，你们可以更进一步的自己去归纳、总结。”
小雨说：“您能出几个题，让我们作作吗？”
刘老师说：“可以，那我就出一些路程类的问题，你们作作看。”
刘老师出的练习题是：
1． 小明从甲地到乙地。去时每小时走6公里，回来时每小时走9公里，来回共用5小时。请问小明来回共走了多少公里？
2． 一个橡皮救生圈：大外圆半径为33厘米，横截圆半径为9厘米。有两支蚂蚁，一支爬大外圆，一支爬横截圆。从A点同时出发，速度一样。问两支蚂蚁第一次碰到时，横截圆蚂蚁爬了几圈？
3． 某人往返A、B两处之间，计划每小时走40公里。当他由A地走到B地时，发现每小时走了45公里。他想按原计划时间走回A地。问：每小时需要走多少公里？
4． 一段路长50公里，有上坡、平路、下坡三段路程，且上坡、平路、下坡三段路程比为1:2:3。其所用时间为4:5:6。走上坡速度为3公里/小时。求：走完全部路程需要多少时间？
5． 一条小河流过A、B、C三镇。AB两镇之间有汽船往来，汽船在静水中速度为11千米/小时。BC两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为3.5千米/小时。已知AC两镇间水路长50千米，水流速度为1.5千米/小时。某人从A镇上船顺流而下到B镇，吃午饭用去1小时，接着乘木船又顺流而下到C镇，共用8小时。那么AB两镇的距离是多少千米？
6． 有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天。现在让三个队全修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完。当甲队撤出后，乙丙两队又共同合修了多少天？
7． 粗蜡烛和细蜡烛长短一样，粗蜡烛可以点4小时，细蜡烛可以点3小时。同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛相当细蜡烛2个长。你能算出这两支蜡烛点了多少时间吗？
8． 一条全长94.5公里的公路，由下坡路和平路组成。汽车在上行走，下坡需一又八分 之一小时，平路需四分之三小时。在下坡路上每小时比在平路上每小时快14公里。问：下坡路多少公里？
9． 甲、乙两桥相距1公里。一船由甲桥逆行至乙桥时，船上一皮球遗落江中。船继续逆行20分钟后，发现上述事件。返航追球，在甲桥处追上皮球。求水流速度？

仔细读，发现真的不错
不错，如果我是该版主，非加0.3

很有创意

你好久没来了吧

不错!

好长，分析得还不错，

太长了，虽然有点看不懂，但还是觉得挺不错的。